ESTADISTICA

INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PILAR

ALDANA - NARIÑO

Se entrega en papel ministro, se recibe a partir del día martes 3 hasta el 5 de junio del año 2014.

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ESTE ES EL MANUAL DE ESTADISTICA PARA SEGUIR

CONCEPTOS ESTADISTICA DECIMO, UNDECIMO GRADO

Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Conceptos de Estadística

Población Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

Individuo Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

Muestra Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

Muestreo El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.

Valor Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

Dato Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Variables estadísticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos.

Variable continua Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números.

Distribución de frecuencias

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Polígonos de frecuencias

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Diagrama de sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

Histograma

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

Medidas de centralización

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre.

Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

 es el símbolo de la media aritmética.

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Medidas de posición

Cuartiles

Los cuartiles son los tres valores de la variable dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

Medidas de dispersión

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Varianza

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

Puntuaciones típicas

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

LOGICA MATEMATICA

Hola muchachos,

Este espacio es para inculcar en cada uno de ustedes el desarrollo de la lógica matemática en el que hacer diario.

Espero que sea de su aprovechamiento.

CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA 

La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos 

de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o 

no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar 

teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida. 

DEFINICIÓN Y CLASES DE PROPOSICIONES 

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. 

Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo. La 

proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática. 

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué 

algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra 

minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. 

Ejemplos. 

p: México se encuentra en Europa. 

q: 15−6 = 9 

r: 2x −3 > 7 

s: Los precios de los teléfonos celulares bajarán a fin de año. 

t: Hola ¿cómo estás? 

w: ¡Cómete esa fruta! 

Los enunciados p y q pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto, son proposiciones 

validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del 

valor asignado a la variable x en determinado momento. La proposición del inciso s también esta 

perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que 

terminara el año. Sin embargo, los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de 

falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. 

En general, las proposiciones pueden ser: 

• Simples si sólo tienen un sujeto, un verbo y un complemento. En caso contrario, son proposiciones 

Compuestas. 

• Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado. 

• Afirmativas o Negativas. Según lo afirmen o nieguen. 

• Verdaderas o Falsas según correspondan o no a la realidad. 

Ejemplos. 

h: "Ana come pizza y bebe refresco", es una proposición compuesta, cerrada y afirmativa. 

j: "Ella no nada muy rápido", es una proposición simple, abierta y negativa. 

k: “Cuernavaca no está al norte del D.F. y no hace frío", es una proposición compuesta, cerrada, negativa 

y verdadera. 

l: 7 + 3 =10 es una proposición simple, cerrada, afirmativa y verdadera. 

m: 22x ≠ x − es una proposición simple, abierta y negativa. 

n: a + b = 6 es una proposición compuesta, abierta y afirmativa.

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     ESTE ESPACIO ES PARA OBSERVAR LOS OPERADORES LOGICOS 

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Existen conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir, 

formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores básicos son: 

• Conjunción (operador and) 

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado 

verdadero. Se le conoce como multiplicación lógica y su símbolo es ∧ (and). 

Ejemplo. 

Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena película y cuando tengo dinero " 

Sean: 

p: Voy al cine. 

q: Hay una buena película. 

r: Tengo dinero. 

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: 

p = q∧r 

Su tabla de verdad es como sigue: 

q    r      p∧r 

1   1         1 

1   0         0 

0   1         0 

0   0         0 

Donde. 

1 = verdadero 

0 = falso 

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que hay una buena película, r=1 significa que tengo dinero y 

p=q∧r=1 significa que voy ir al cine. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que 

valga cero implica que no asisto al cine. 

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FUNCION TANGENTE

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PILAR

ALDANA NARIÑO

TOMADO DE: http://www.calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/tangente.html

Función tangente

Se define la función tangente como la razón entre la función seno y la función coseno:

Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    tg (- x) = - tg (x)

6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     tg (x) = tg (x + π)

     La función   f(x) = tg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = π/2 + k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

Periodo, traslación y asíntotas verticales

FUNCION COSENO

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ALDANA - NARIÑO

TOMADO DE: http://www.calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/coseno.html

Función coseno

Su gráfica será idéntica a la del seno pero con un desfase de   π/2 , es decir, se produce una traslación de   π/2   a la izquierda.

Las características fundamentales de la función coseno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ cos x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.

    cos (x) = cos (- x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π + 2·k·π    y   b = 0 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = 0 + 2·k·π    y   b = π + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .

     cos (x) = cos (x + 2π)

     La función   f(x) = cos (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

Amplitud, periodo y traslación

Amplitud = |1/5| = 1/5

Periodo = 2π/|2| = 2π/2 = π

Traslación :   2x + π/2 = 0       ⇒      x = - π/4
                     2x + π/2 = 2π      ⇒      x = 3π/4

FUNCION SENO

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TOMADO DE: http://www.calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/seno.html

Funciones trigonométricas

Una función trigonométrica es aquella que da el valor de una razón trigonométrica en función del ángulo.

Las funciones trigonométricas son:   sen x ,    cos x ,    tg x ,    cotg x ,    sec x ,    cosec x

Todas las funciones trigonométricas son periódicas.

Función seno

Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ sen x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    sen (- x) = - sen (x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π/2 + 2·k·π    y   b = π/2 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = π/2 + 2·k·π    y   b = 3π/2 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π/2 + 2·k·π, 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (3π/2 + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .

     sen (x) = sen (x + 2π)

     La función   f(x) = sen (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para   0 < |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

Transformaciones de la función seno

A partir de la gráfica de la función   f(x) = sen x   pueden dibujarse las de:

1) f(x) = - sen x

La función resultante es simétrica respecto al eje X.

2) f(x) = |sen x|

La función valor absoluto transforma los resultados negativos en positivos.

3) f(x) = k + sen x

La función resultante es una traslación vertical hacía arriba de dos unidades.

4) f(x) = sen (x + k)

La función resultante es una traslación horizontal hacía la izquierda de dos unidades.

5) f(x) = k·sen x

La función resultante multiplica los resultados de la función seno dos unidades.

6) f(x) = sen (k·x)

La función resultante contrae a la función original.

Amplitud, periodo y traslación

Amplitud = |2/3| = 2/3

TEOREMA DE PITAGORAS GRADO 10

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ALDANA - NARIÑO

Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

¡Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!

Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía:
	Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor. Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo) Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa Dibuja líneas como en la animación, así: Recorta los trozos Colócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados juntos

Otra Demostración, Muy Simple

Aquí tienes una de las demostraciones más antiguas de que el cuadrado grande tiene la misma área que los otros cuadrados juntos.
	Mira la animación, y presta atención cuando se empiecen a mover los triángulos. Quizás quieras verla varias veces para entender bien lo que pasa. El triángulo violeta es el importante.

 VER VIDEOS:

EJERCICIOS:

1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

2En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:

1 Los catetos.

2 La altura relativa a la hipotenusa.

3 El área del triángulo.

4 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm.

5 Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

6 Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

7 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

8 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

9 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

10 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

11 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

12 El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

13 En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

14 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

15 En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

16 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

17 Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.

18 Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

19 Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

20 Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.